De la confusion du réel au modèle mathématique : explorer l'origine des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues
MATH701B-PEP-CNLesson 4
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Imaginez que vous êtes devant l'entrée d'un théâtre, tenant un tas de billets, face à deux tarifs différents. Si vous savez seulement que vous avez acheté 35 billets au total, vous ne pouvez pas déterminer avec certitude combien de billets de type A et combien de billets de type B vous avez pris — cet état est dit « indéterminé » en mathématiques. Seul en considérant simultanément les deux contraintes indépendantes, le nombre total de billets et le montant total dépensé, la vérité émerge. Ce passage de multiples possibilités floues vers une solution unique précise est précisément le cœur de la modélisation par système d'équations linéaires à deux inconnues.
Le pont entre le langage et l'algèbre
En première partie de la 7e année, nous avons appris à décrire le monde à l'aide d'une seule lettre (une équation à une inconnue). Mais la vie réelle est souvent multidimensionnelle. Lorsqu'il existe deux quantités liées mais fondamentalement différentes, introduire deux variables $x$ et $y$ rend la pensée incroyablement claire.
Première étape : définir les inconnues
Dans le cas du « dilemme des billets », nous posons $x$ comme le nombre de billets de type A achetés, et $y$ comme le nombre de billets de type B achetés. Ces deux variables forment le cadre de notre exploration.
Deuxième étape : rechercher deux relations d'égalité
1. Relation quantitative : $x + y = 35$ (la somme des deux types de billets égale le nombre total de personnes)
2. Relation économique : $24x + 18y = 750$ (la somme des prix totaux des billets de type A et B égale le montant total dépensé)
Troisième étape : établir le modèle combiné
Nous combinons ces deux équations à l’aide d’un grand crochet pour former le système $\begin{cases} x+y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$. Cela signifie que nous devons trouver un couple ordonné $(x, y)$ qui équilibre simultanément les deux équations.
🎯 Règle fondamentale de modélisation
La modélisation n’a pas pour but de calculer, mais de « traduire ». Identifiez les deux termes clés dans l’énoncé, attribuez-leur des variables, puis traduisez les deux phrases verbales décrivant leurs relations en deux équations. Tant que les contraintes sont suffisantes et indépendantes, le système d’équations déterminera nécessairement une seule vérité.
1. Rassemblez les termes du polynôme : un carré de $x^2$, trois bandes rectangulaires de $x$, et deux petits carrés unités de $1\times1$.
2. Commencez l'assemblage géométrique.
3. Ils s'assemblent parfaitement en un grand rectangle continu ! La largeur est $x+2$, la hauteur est $x+1$.
QUESTION 1
Dans une classe de 35 élèves, des billets à 24 € et 18 € ont été achetés, pour un coût total de 750 €. Soit $x$ le nombre de billets de type A achetés, $y$ celui de type B. Lequel des systèmes suivants est correct ?
$\begin{cases} x+y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=750 \\ 24x+18y=35 \end{cases}$
$\begin{cases} x-y=35 \\ 24x+18y=750 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=35 \\ 18x+24y=750 \end{cases}$ (si $x$ représente les billets de type A, cette version est incorrecte)
Correct ! Le premier équation reflète la conservation du nombre de personnes, le second celle du montant total.
Astuce : vérifiez ce que représentent $x$ et $y$. $x+y$ doit égaler le nombre total de personnes, soit 35, et la somme des prix unitaires multipliés par les quantités doit donner le montant total, soit 750.
QUESTION 2
Un élevage possédait initialement 30 vaches adultes et 15 veaux, consommant environ 675 kg de nourriture par jour. Soit $x$ la quantité de nourriture qu’une vache adulte mange par jour, $y$ celle d’un veau. Quelle équation est correcte ?
$30x + 15y = 675$
$15x + 30y = 675$
$30x - 15y = 675$
$x + y = 675 / 45$
Tout à fait correct ! C’est la relation d’équation décrivant l’état initial.
Attention à la correspondance des variables : 30 vaches adultes correspondent à $30x$, 15 veaux à $15y$.
QUESTION 3
Suite à la question précédente, une semaine plus tard, 12 vaches adultes et 5 veaux ont été ajoutés, entraînant une consommation quotidienne de 940 kg de nourriture. Quelle relation d’équation s’applique maintenant ?
$(30+12)x + (15+5)y = 940$
$12x + 5y = 940$
$30x + 15y + 940 = 0$
$42x + 20y = 675 + 940$
Excellent ! Il faut ajouter le nombre supplémentaire de vaches au nombre initial avant d’écrire l’équation.
Astuce : après l’achat, le nombre total de vaches adultes devient $30+12$, celui de veaux $15+5$.
QUESTION 4
Résolvez le système $\begin{cases} x+2y=9 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}$ en additionnant les deux équations pour éliminer $y$. Quelle équation en $x$ obtenez-vous ?
$4x = 8$
$4x = 10$
$-2x = 8$
$2x = 8$
Correct ! $(x + 3x) + (2y - 2y) = 9 + (-1)$, donc $4x = 8$. Cela illustre toute la puissance de la méthode d’élimination.
Astuce : additionnez les deux membres gauche, puis les deux membres droit. Notez que $2y$ et $-2y$ s'annulent.
QUESTION 5
Quelle est la solution du système $\begin{cases} x+2y=9 \\ 3x-2y=-1 \end{cases}$ ?
$\begin{cases} x=2 \\ y=3.5 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
$\begin{cases} x=2.5 \\ y=3.25 \end{cases}$
Correct. De $4x=8$, on obtient $x=2$. En substituant dans la première équation, $2+2y=9$, donc $y=3.5$.
Étapes de résolution : 1. Additionner les deux équations donne $4x=8 \Rightarrow x=2$ ; 2. Substituer $x=2$ dans l'une quelconque des équations pour trouver $y$.
QUESTION 6
Pour qu’un système d’équations linéaires à deux inconnues ait une solution unique, combien d’équations indépendantes sont généralement nécessaires ?
2 équations
1 équation
Une infinité d'équations
Aucune équation
Oui ! Dans le cas de deux inconnues, deux contraintes non parallèles sont nécessaires pour déterminer un point unique.
Pensez à une balance : une seule équation offre plusieurs possibilités d'équilibre, deux équations sont nécessaires pour fixer les variables.
QUESTION 7
En modélisation géométrique, si un rectangle dont la longueur diminue de 5 cm et la largeur augmente de 2 cm devient un carré, et si la longueur est notée $x$ et la largeur $y$, quelle est la première relation ?
$x - 5 = y + 2$
$x + 5 = y - 2$
$x - y = 3$
$x - 5 = y$
Exact ! La caractéristique principale d’un carré est que ses quatre côtés sont égaux, donc la longueur après transformation doit être égale à la largeur après transformation.
Astuce : la propriété fondamentale d’un carré est que ses côtés sont de même longueur.
QUESTION 8
Si l’aire du rectangle original est égale à celle du carré obtenu, quelle est la deuxième relation ?
$xy = (x-5)(y+2)$
$xy = x-5 + y+2$
$x+y = (x-5)^2$
$2(x+y) = 4(x-5)$
Correct. Le membre de gauche représente l’aire du rectangle initial, celui de droite l’aire du nouveau carré.
La formule de l’aire est longueur multipliée par largeur. L’aire initiale est $xy$, l’aire nouvelle est $(x-5) \times (y+2)$.
QUESTION 9
Un système d’équations composé de deux équations, quelle est sa signification physique habituelle ?
Rechercher une solution satisfaisant simultanément les deux conditions (intersection)
Rechercher une solution satisfaisant l’une ou l’autre condition (union)
Additionner les deux équations pour obtenir une nouvelle équation
Démontrer que ces deux équations sont fausses
Parfait ! C’est précisément le sens philosophique de la « combinaison » des équations.
Astuce : les accolades représentent « et », c’est-à-dire que la première condition est vraie ET la seconde aussi.
QUESTION 10
Combien de solutions possède l’équation $x + y = 5$ ?
Une infinité d'équations
1 équation
2 équations
Aucune solution
Correct. Par exemple, (1,4), (2,3), (0,5), (-1,6), etc. C’est pourquoi nous avons besoin d’une deuxième équation pour la déterminer.
注意：只要没有第二个约束，任何满足相加等于 5 的 $x$ 和 $y$ 都是解。
Défi : Conservation lors de transformations géométriques
Modélisation avancée et application logique
Une plaque métallique rectangulaire, si sa longueur est diminuée de $5\text{ cm}$ et sa largeur augmentée de $2\text{ cm}$, devient exactement un carré. Plus étonnant encore, l’aire de ce carré est exactement égale à celle du rectangle initial !
Q1
Soit $x\text{ cm}$ la longueur initiale du rectangle, $y\text{ cm}$ sa largeur. Écrivez l’équation en fonction de la condition selon laquelle il devient un carré après transformation.
Solution détaillée :
D’après la définition d’un carré, ses quatre côtés ont la même longueur. La longueur après transformation est $(x-5)$, la largeur $(y+2)$.
L’équation est donc :$x - 5 = y + 2$ (ou $x - y = 7$).
Q2
Écrivez la deuxième équation basée sur « l’égalité des aires », puis essayez de déterminer les dimensions initiales du rectangle.
Solution détaillée :
1. Équation de l’aire :$xy = (x-5)(y+2)$.
2. Résolution combinée :
D’après Q1, $x = y + 7$.
Substitution dans l’équation d’aire : $(y+7)y = (y+7-5)(y+2) \Rightarrow y^2 + 7y = (y+2)^2$.
Développement : $y^2 + 7y = y^2 + 4y + 4 \Rightarrow 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3} \text{ cm}$.
Donc $x = \frac{4}{3} + 7 = \frac{25}{3} \text{ cm}$. Conclusion :Le rectangle initial a une longueur de $\frac{25}{3}\text{ cm}$ et une largeur de $\frac{4}{3}\text{ cm}$.
✨ Points clés
Deux variables,notées $x$ et $y$,Deux conditions,établir deux équations.En combinant les équations,les contraintes deviennent uniques,La modélisation mathématique,est la plus claire logiquement!
💡 Les relations d’égalité sont l’âme de la modélisation
Ne vous précipitez pas pour écrire les équations. Notez d’abord deux équations en chinois sur un brouillon, par exemple : « nombre initial = 35 » et « prix total initial = 750 ».
💡 Les variables doivent avoir une signification physique claire
Lorsque vous définissez $x$ et $y$, précisez toujours les unités et clarifiez si elles représentent des quantités, des masses ou des longueurs.
💡 Les accolades ne sont pas décoratives
Les accolades signifient « doit être satisfait simultanément ». Si une solution ne satisfait qu’un seul des deux équations, elle n’est pas une solution du système.
💡 Préparation à la méthode d’élimination
Observez le système d’équations : si les coefficients d’une même inconnue sont opposés dans les deux équations, alors « additionner » constitue la voie directe vers la solution.
💡 Conditions implicites en géométrie
Dans les problèmes géométriques, « carré » implique généralement des côtés égaux, tandis que « périmètre » ou « aire » sont des sources fréquentes de relations d’égalité.